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<!DOCTYPE html>

<title>Trigonometrisches Polynom</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Trigonometrisches Polynom</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Ein trigonometrisches Polynom, auch eine trigonometrische Summe genannt, ist in der reellen <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> eine endliche, <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle</a> <a href="Linearkombination" title="Linearkombination">Linearkombination</a> der <a href="Trigonometrische_Funktion" title="Trigonometrische Funktion">trigonometrischen Funktionen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto \cos(kx)\;(k\in \mathbb {N} _{0})}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto \cos(kx)\;(k\in \mathbb {N} _{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3af759497ccc1a719e7554a3c1b0ce0e48d6b0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.644ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto \cos(kx)\;(k\in \mathbb {N} _{0})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto \sin(kx)\;(k\in \mathbb {N} \setminus \{0\})}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto \sin(kx)\;(k\in \mathbb {N} \setminus \{0\})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff1be9f0575b667675ce8f7c82da89f59f8cc2b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.016ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto \sin(kx)\;(k\in \mathbb {N} \setminus \{0\})}" loading="lazy">, wobei die Linearkombination als Funktion für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9c6d458566aec47a7259762034790c8981aefab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.848ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> definiert wird. Diese reellwertigen Funktionen lassen auch eine eindeutige (formal) <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexe</a> Darstellung zu, bei der bestimmte komplexe Linearkombinationen aus den <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktionen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{ikx}\;(k\in \mathbb {Z} )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{ikx}\;(k\in \mathbb {Z} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aab19a7fa87866271088583aa62b055d4098c65d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.737ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle e^{ikx}\;(k\in \mathbb {Z} )}" loading="lazy"> an Stelle der <a href="Kosinus" class="mw-redirect" title="Kosinus">Kosinus</a>- und <a href="Sinus" class="mw-redirect" title="Sinus">Sinus</a>-Funktionen gebildet werden. Mit dieser Darstellung werden Rechnungen häufig vereinfacht. Die reellen trigonometrischen Polynome sind <a href="Partialsumme" class="mw-redirect" title="Partialsumme">Partialsummen</a> von reellen <a href="Fourierreihe" title="Fourierreihe">Fourierreihen</a> und spielen unter anderem bei der Lösung von <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung">gewöhnlichen</a>, <a href="Lineare_Differentialgleichung" class="mw-redirect" title="Lineare Differentialgleichung">linearen Differentialgleichungen</a> mit konstanten Koeffizienten und für die <a href="Diskrete_Fouriertransformation" class="mw-redirect" title="Diskrete Fouriertransformation">diskrete Fouriertransformation</a> eine wichtige Rolle.

In der <a href="Funktionentheorie" title="Funktionentheorie">Funktionentheorie</a>, der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> und in vielen Anwendungen, wie etwa der <a href="Analytische_Zahlentheorie" title="Analytische Zahlentheorie">analytischen Zahlentheorie</a> (siehe <a href="#Kreismethode_nach_Winogradow">Kreismethode nach Winogradow</a> in diesem Artikel) wird jede beliebige komplexe Linearkombination von Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto e^{ik\omega x}\;(k\in \mathbb {Z} )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto e^{ik\omega x}\;(k\in \mathbb {Z} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8390555f6769978787dfb4dab2358c22160a62eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.703ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto e^{ik\omega x}\;(k\in \mathbb {Z} )}" loading="lazy"> mit festem reellen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61bb5b2363a337d19541f916e585eb209ca6e0ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.707ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \omega >0}" loading="lazy"> als komplexes trigonometrisches Polynom oder komplexe trigonometrische Summe bezeichnet.

Sowohl die reellen als auch die komplexen trigonometrischen Polynome liefern eindeutige <a href="Proximum" title="Proximum">Bestapproximationen</a> – zu jedem gegebenen Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> existiert genau eine beste Näherung unter den trigonometrischen Polynomen, die höchstens diesen Grad haben – <a href="Mittlere_quadratische_Abweichung" title="Mittlere quadratische Abweichung">im quadratischen Mittel</a> für jede Funktion des Funktionenraums, den die erzeugenden trigonometrischen Funktionen jeweils als Orthonormalbasis (<a href="Orthogonalsystem" title="Orthogonalsystem">Orthogonalsystem</a>) bestimmen.

Lässt man in den Linearkombinationen auch unendlich viele nichtverschwindende „Summanden“ zu, dann gelangt man zu den Begriffen einer reellen bzw. komplexen trigonometrischen Reihe.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definitionen">Definitionen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Reelles_trigonometrisches_Polynom">Reelles trigonometrisches Polynom</h3></div>

Als reelles trigonometrisches Polynom wird die für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9c6d458566aec47a7259762034790c8981aefab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.848ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> definierte, reellwertige Funktion

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55e1c8176bedf3d4b3ae0411bf5ffd0d94c82518.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:41.327ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx))}" loading="lazy"></dd></dl>

bezeichnet, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b05f052dded6510c1e714c0e0f28691d8adb8d9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.957ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> ist. Die natürliche Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> bezeichnet man als den Grad von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.448ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28e2d72f6dd9375c8f1f59f1effd9b4e5492ac97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.216ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b_{n}}" loading="lazy"> nicht verschwindet. Die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> hat die <a href="Periodizit%C3%A4t_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Periodizität (Mathematik)">Periode</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.494ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi }" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beliebige_Periode">Beliebige Periode</h3></div>

Ein reelles trigonometrisches Polynom kann etwas allgemeiner auch so definiert werden, dass die Periode des Polynoms eine beliebige, positive, reelle Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist. Setzt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/689caf6d9f39dbc57a3d4ee99c82c98e31193e72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:7.875ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}" loading="lazy">, dann lauten die Polynome:

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(k\omega x)+b_{k}\sin(k\omega x)),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c60c7923942736083821759f841de7241593533.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:44.866ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(k\omega x)+b_{k}\sin(k\omega x)),}" loading="lazy"></dd></dl>

für die übrigen Parameter gelten die gleichen Voraussetzungen und Bezeichnungen wie im Spezialfall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=2\pi ,\omega =1.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=2\pi ,\omega =1.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f700f479a6a2a7aa6c8ee9bb3877afbada14ae06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.617ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T=2\pi ,\omega =1.}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Komplexe_Darstellung">Komplexe Darstellung</h3></div>

Die komplexe Darstellung des reellen trigonometrischen Polynoms lautet:

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\sum _{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ikx}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3e0536b93bc650f4d523e0977249542cee2a564.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:18.078ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\sum _{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ikx}}" loading="lazy"> im Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega =1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c588d805646d25ccf238754cd7cc4ce16f412cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.707ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \omega =1}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\sum _{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ik\omega x}}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\sum _{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ik\omega x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd703b01079193c1edf6f9a3cb6b0077d5d31df6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:19.101ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\sum _{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ik\omega x}}" loading="lazy"> im Fall einer beliebigen Periode.</dd></dl>

Dabei gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{0}={\frac {a_{0}}{2}},c_{k}={\frac {(a_{k}-ib_{k})}{2}},c_{-k}={\frac {(a_{k}+ib_{k})}{2}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{0}={\frac {a_{0}}{2}},c_{k}={\frac {(a_{k}-ib_{k})}{2}},c_{-k}={\frac {(a_{k}+ib_{k})}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a702bdc4edec76ff021963f2749073840870f16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:43.4ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle c_{0}={\frac {a_{0}}{2}},c_{k}={\frac {(a_{k}-ib_{k})}{2}},c_{-k}={\frac {(a_{k}+ib_{k})}{2}}}" loading="lazy"> und umgekehrt lässt sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{k}=2\cdot \operatorname {Re} (c_{k})=2\cdot \operatorname {Re} (c_{-k})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k}=2\cdot \operatorname {Re} (c_{k})=2\cdot \operatorname {Re} (c_{-k})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de202e608b08bc2240c4980e3f59fdac3eecd666.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.773ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{k}=2\cdot \operatorname {Re} (c_{k})=2\cdot \operatorname {Re} (c_{-k})}" loading="lazy"> durch den <a href="Realteil" class="mw-redirect" title="Realteil">Realteil</a> der komplexen Darstellung und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{k}=-2\cdot \operatorname {Im} (c_{k})=2\cdot \operatorname {Im} (c_{-k})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{k}=-2\cdot \operatorname {Im} (c_{k})=2\cdot \operatorname {Im} (c_{-k})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e44324e41d11494e08fe832592e398de99403cee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.414ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b_{k}=-2\cdot \operatorname {Im} (c_{k})=2\cdot \operatorname {Im} (c_{-k})}" loading="lazy"> durch ihren <a href="Imagin%C3%A4rteil" class="mw-redirect" title="Imaginärteil">Imaginärteil</a> darstellen. Das trigonometrische Polynom ist genau dann reell, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{k}={\overline {c_{-k}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{k}={\overline {c_{-k}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31063683e6a8d378c8f7b0cdce087fb25eb717b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.683ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle c_{k}={\overline {c_{-k}}}}" loading="lazy"> gilt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Komplexes_trigonometrisches_Polynom">Komplexes trigonometrisches Polynom</h3></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (c_{k})_{k\in \mathbb {Z} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (c_{k})_{k\in \mathbb {Z} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a914604c269608c93c4de886538f0f41aa8364e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.186ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (c_{k})_{k\in \mathbb {Z} }}" loading="lazy"> eine Familie von komplexen Koeffizienten, die für alle bis auf endlich viele Indizes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59a12237af5f2ec5fc7c5023f439266bae1380f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.602ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }" loading="lazy"> verschwinden, und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61bb5b2363a337d19541f916e585eb209ca6e0ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.707ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \omega >0}" loading="lazy"> eine positive, reelle Zahl, dann wird die Summe

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}e^{ik\omega x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c81c7bb21cd3981fc70b9a8cb417953aaddf68de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:18.056ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}e^{ik\omega x}}" loading="lazy"> als komplexes trigonometrisches Polynom oder komplexe trigonometrische Summe bezeichnet.</dd></dl>

In aller Regel ist die unabhängige Variable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> in dieser Summe nach wie vor eine reelle Zahl und die Summe stellt dann eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {2\pi }{\omega }}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {2\pi }{\omega }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa1bdd9cba3ba4ac08820fbab3055550df1cce76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:3.331ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {2\pi }{\omega }}}" loading="lazy">-periodische Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61eea3e1ffb71496a64f0494395a0dcb7bed87d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.283ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }" loading="lazy"> dar. Hier wird der Betrag der betragsmäßig größten ganzen Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59a12237af5f2ec5fc7c5023f439266bae1380f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.602ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }" loading="lazy">, für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{k}\neq 0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{k}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ceb779cef4ef6b4644b2e3c7a668aee9caf9c8fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.356ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle c_{k}\neq 0}" loading="lazy"> gilt, als der Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |k|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |k|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d0afc019921379ffed88d68277f0fe943f57fb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |k|}" loading="lazy"> des komplexen trigonometrischen Polynoms bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Trigonometrische_Reihe">Trigonometrische Reihe</h3></div>

Analog zum Begriff des trigonometrischen Polynoms kann auch der Begriff der (formalen) trigonometrischen Reihe definiert werden.

Diese werden als <a href="Fourierreihe" title="Fourierreihe">Fourierreihen</a> von periodischen Funktionen verwendet.

<ul><li>Reelle trigonometrische Reihen lassen sich also wie folgt darstellen:</li></ul>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}\cos k\omega x+b_{k}\sin k\omega x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/763c7d02b4b43db138346b4cea704590fcba0623.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:33.859ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}\cos k\omega x+b_{k}\sin k\omega x)}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b05f052dded6510c1e714c0e0f28691d8adb8d9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.957ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} }" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>bzw. in der komplexen Darstellung

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{k=\infty }c_{k}e^{ik\omega x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/485e5522992f686a98573a19b7cec41563f0cf57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:12.242ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{k=\infty }c_{k}e^{ik\omega x}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{k}={\overline {c_{-k}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{k}={\overline {c_{-k}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31063683e6a8d378c8f7b0cdce087fb25eb717b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.683ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle c_{k}={\overline {c_{-k}}}}" loading="lazy">.</dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Lässt man die Bedingung für die Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d2f8052630e67b00d04e3487e1d68ed7070470b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.096ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{k}}" loading="lazy"> weg, dann erhält man eine komplexe trigonometrische Reihe:</li></ul>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{k=\infty }c_{k}e^{ik\omega x}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a528d5aeaf5ae7ff0d83881a5b3034c98d12c7d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:12.888ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{k=\infty }c_{k}e^{ik\omega x}.}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

Dabei ist immer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61bb5b2363a337d19541f916e585eb209ca6e0ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.707ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \omega >0}" loading="lazy">, der Definitionsbereich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D=\lbrace x\in \mathbb {R} \rbrace }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=\lbrace x\in \mathbb {R} \rbrace }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a3aa23dcf7165aacbafa42583711684a8a8ad0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.196ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D=\lbrace x\in \mathbb {R} \rbrace }" loading="lazy"> und die Periode wie bei den entsprechenden trigonometrischen Polynomen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T={\tfrac {2\pi }{\omega }}.}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\tfrac {2\pi }{\omega }}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44693eb17fd5d1b299c4464bfad279972061181e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.982ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle T={\tfrac {2\pi }{\omega }}.}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Orthogonalität">Orthogonalität</h3></div>

Die trigonometrischen Funktionen, aus denen die reellen trigonometrischen Polynome durch Linearkombination entstehen, erfüllen folgende Orthogonalitätsrelationen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(k,l\in \mathbb {N} _{0}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(k,l\in \mathbb {N} _{0}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/930540f76718277d7438b522dcdcfd91298b4870.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.321ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left(k,l\in \mathbb {N} _{0}\right)}" loading="lazy">:

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}\cos(k\omega x)\cdot \sin(l\omega x)\,dx=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24ee993e35caf396dea3202bd63de783b746629f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:31.265ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}\cos(k\omega x)\cdot \sin(l\omega x)\,dx=0}" loading="lazy">,</li>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}\cos(k\omega x)\cdot \cos(l\omega x)\,dx={\begin{cases}0\quad (k\neq l)\\{\frac {\pi }{\omega }}\quad (k=l\neq 0)\\{\frac {2\pi }{\omega }}\quad (k=l=0)\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34722ab77648b2704531db86d5152a8e6c74c08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:49.171ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}\cos(k\omega x)\cdot \cos(l\omega x)\,dx={\begin{cases}0\quad (k\neq l)\\{\frac {\pi }{\omega }}\quad (k=l\neq 0)\\{\frac {2\pi }{\omega }}\quad (k=l=0)\end{cases}}}" loading="lazy"></li>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}\sin(k\omega x)\cdot \sin(l\omega x)\,dx={\begin{cases}0\quad (k\neq l)\\{\frac {\pi }{\omega }}\quad (k=l\neq 0)\\0\quad (k=l=0).\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98a468f93e1a6a347cc08215ff3b30c46df40987.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:47.919ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}\sin(k\omega x)\cdot \sin(l\omega x)\,dx={\begin{cases}0\quad (k\neq l)\\{\frac {\pi }{\omega }}\quad (k=l\neq 0)\\0\quad (k=l=0).\end{cases}}}" loading="lazy"></li></ol>

Für die komplexen Erzeugenden lautet die Orthogonalitätsrelation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(k,l\in \mathbb {Z} \right)}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(k,l\in \mathbb {Z} \right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f0aa69a403e7a35630bc343ee481caba38bcedb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.139ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left(k,l\in \mathbb {Z} \right)}" loading="lazy">:

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}e^{ik\omega x}\cdot e^{-il\omega x}\,dx={\begin{cases}0\quad (k\neq l)\\{\frac {2\pi }{\omega }}\quad (k=l).\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ea3a6dee54fa0009c2df08ed68d8ba60c5ec336.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:38.255ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}e^{ik\omega x}\cdot e^{-il\omega x}\,dx={\begin{cases}0\quad (k\neq l)\\{\frac {2\pi }{\omega }}\quad (k=l).\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Basiseigenschaft">Basiseigenschaft</h3></div>

Aus den Orthogonalitätsrelationen folgt, dass die Folge der erzeugenden trigonometrischen Polynome <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left((\cos(k\omega x))_{k\in \mathbb {N} _{0}},(\sin(l\omega x))_{l\in \mathbb {N} \setminus \lbrace 0\rbrace }\right)}">

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left((\cos(k\omega x))_{k\in \mathbb {N} _{0}},(\sin(l\omega x))_{l\in \mathbb {N} \setminus \lbrace 0\rbrace }\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05e01715fb8b0a7b757b9ff9594e0279a33d8442.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:38.961ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left((\cos(k\omega x))_{k\in \mathbb {N} _{0}},(\sin(l\omega x))_{l\in \mathbb {N} \setminus \lbrace 0\rbrace }\right)}" loading="lazy"> <a href="Lineare_Unabh%C3%A4ngigkeit" title="Lineare Unabhängigkeit">linear unabhängig</a> ist. Sie bildet bei geeigneter Normierung eine <a href="Orthonormalbasis" title="Orthonormalbasis">Orthonormalbasis</a> eines reellen <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraumes</a>. Dieser Hilbertraum ist der <a href="Lp-Raum" title="Lp-Raum">Lebesgue-Raum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}[0;T]}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}[0;T]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e5e21a22cbf50a690b00932c7c001c747f2c1c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.763ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L^{2}[0;T]}" loading="lazy">.

Die Familie der Erzeugenden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {C}}=\left(e^{ik\omega x}\right)_{k\in \mathbb {Z} }}">

</mrow>

<msub>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {C}}=\left(e^{ik\omega x}\right)_{k\in \mathbb {Z} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6304e526b28e3ff9dae1c738657f4e9491e14fdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:14.451ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {C}}=\left(e^{ik\omega x}\right)_{k\in \mathbb {Z} }}" loading="lazy"> der komplexen trigonometrischen Polynome ist auch linear unabhängig und bildet bei geeigneter Normierung eine Orthonormalbasis des komplexen Hilbertraumes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}(\mathbb {S} ^{1})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}(\mathbb {S} ^{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2251ef2406a8513035742c511277ce7f3d5b9153.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.793ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L^{2}(\mathbb {S} ^{1})}" loading="lazy"> der auf dem Einheitskreis definierten, komplexwertigen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba162c66ca85776c83557af5088cc6f8584d1912.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.637ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle L^{2}}" loading="lazy">-Funktionen, wenn man sie als parametrisierte Laurentreihen betrachtet und ansonsten eine Basis des komplexen Hilbertraums <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}[0;T]}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}[0;T]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e5e21a22cbf50a690b00932c7c001c747f2c1c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.763ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L^{2}[0;T]}" loading="lazy"> der komplexwertigen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba162c66ca85776c83557af5088cc6f8584d1912.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.637ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle L^{2}}" loading="lazy">-Funktionen auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0;T]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0;T]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/035ed7ed62afc7a7aa66b56c4130bd5e3edd0c57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.126ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0;T]}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Konvergenz_der_Reihen">Konvergenz der Reihen</h3></div>

<ul><li>Eine trigonometrische Reihe konvergiert sicher dann <a href="Ma%C3%9Ftheorie#Fast_überall" title="Maßtheorie">fast überall</a> und im <a href="Konvergenz_im_quadratischen_Mittel" class="mw-redirect" title="Konvergenz im quadratischen Mittel">quadratischen Mittel</a>, wenn die Reihe</li></ul>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

<mrow>

<msup>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(\left|c_{k}\right|^{2}+\left|c_{-k}\right|^{2}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/52f588ec58e91e79f3c8c47eca881ba3a66740b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:19.523ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(\left|c_{k}\right|^{2}+\left|c_{-k}\right|^{2}\right)}" loading="lazy"> konvergiert.</dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Für reelle trigonometrische Reihen ist das äquivalent dazu, dass die Reihe</li></ul>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34426f5023f595cd41f158bc2e5b4a95b49b3bbc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:13.117ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}\right)}" loading="lazy"> konvergiert.</dd></dl></dd></dl>

Auch nicht konvergente Reihen werden als formale trigonometrische Reihen bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bezeichnung_als_Polynom">Bezeichnung als Polynom</h2></div>

An den komplexen trigonometrischen Polynomen wird deutlich, weshalb diese Funktionen als <a href="Polynom" title="Polynom">Polynome</a> bezeichnet werden: Schränkt man den <a href="Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsbereich</a> eines beliebigen komplexen Polynoms <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\dotsb +c_{n}z^{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\dotsb +c_{n}z^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d83ce00370eb339928de9399882c17bd98e5df54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.035ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\dotsb +c_{n}z^{n}}" loading="lazy"> auf den komplexen <a href="Sph%C3%A4re_(Mathematik)" title="Sphäre (Mathematik)">Einheitskreis</a> ein und parametrisiert diesen als Kurve mit einem reellen Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(z=e^{i\omega x},\;(\omega \in \mathbb {R} \setminus \lbrace 0\rbrace )\right)}">

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(z=e^{i\omega x},\;(\omega \in \mathbb {R} \setminus \lbrace 0\rbrace )\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d12c5c0f37b0ac1468d53afe4821d8beb685b2a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:25.297ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left(z=e^{i\omega x},\;(\omega \in \mathbb {R} \setminus \lbrace 0\rbrace )\right)}" loading="lazy">, dann wird aus dem gewöhnlichen Polynom das trigonometrische Polynom <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{0}+c_{1}e^{i\omega x}+c_{2}e^{2i\omega x}+\dotsb +c_{n}e^{ni\omega x}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{0}+c_{1}e^{i\omega x}+c_{2}e^{2i\omega x}+\dotsb +c_{n}e^{ni\omega x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d7f9012709b8d163109fc438ada30da9117e287.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:35.839ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle c_{0}+c_{1}e^{i\omega x}+c_{2}e^{2i\omega x}+\dotsb +c_{n}e^{ni\omega x}}" loading="lazy">. Bei komplexen trigonometrischen Polynomen treten im Allgemeinen auch Terme mit negativem „Grad“ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy">, die aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z^{k},k<0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z^{k},k<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42786710a7408fc24821d998e8f9c5610000d24e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.685ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle z^{k},k<0}" loading="lazy"> durch die Parametrisierung hervorgehen, auf. Trigonometrische Polynome entstehen also genau genommen durch die genannte Parametrisierung aus <a href="Laurentreihe" class="mw-redirect" title="Laurentreihe">Laurentreihen</a> mit dem Entwicklungspunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{0}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{0}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6015a6c1d9f7912952d18c0ddc01d7a4b901483.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.396ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z_{0}=0}" loading="lazy">, die nur endlich viele nichtverschwindende Koeffizienten haben. Man kann jedes trigonometrische Polynom aber auch als Summe von zwei beliebigen gewöhnlichen komplexen Polynomen auffassen, wobei beim einen Polynom der Einheitskreis durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto e^{i\omega x}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto e^{i\omega x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93d7cd3bc7b452d6d1fe80e87cab9ab0b504251b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.789ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto e^{i\omega x}}" loading="lazy">, beim anderen durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto e^{-i\omega x}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto e^{-i\omega x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ad7249a5c53ecab11ded4e8a47d83a8f2c5127c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.068ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto e^{-i\omega x}}" loading="lazy"> parametrisiert wird.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung_in_der_Zahlentheorie">Anwendung in der Zahlentheorie</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Exponentialsumme" title="Exponentialsumme">Exponentialsumme</a></div>

In der analytischen Zahlentheorie werden trigonometrische Summen auch als Exponentialsummen bezeichnet. Sie werden als lösungszählende Funktionen verwendet. Diese Anwendung beruht auf der Orthogonalitätsrelation. Für eine übersichtliche Darstellung wird in der Zahlentheorie abkürzend <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e(x)=e^{2\pi ix}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e(x)=e^{2\pi ix}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d84fd2fc7dbef39f5374f1889dd42935fc4c42f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.908ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle e(x)=e^{2\pi ix}}" loading="lazy"> geschrieben und die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy"> wird als zahlentheoretische Exponentialfunktion bezeichnet.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

Die Orthogonalitätsrelation lautet, wenn man sie mit der zahlentheoretischen Exponentialfunktion formuliert:<a href="#cite_note-2">[2]</a>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{1}e(R\alpha )\,d\alpha ={\begin{cases}0\quad (R\in \mathbb {Z} \setminus \lbrace 0\rbrace )\\1\quad (R=0).\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/190ab24d535039fb33e60cca0f3225137a20eaa9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.865ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{1}e(R\alpha )\,d\alpha ={\begin{cases}0\quad (R\in \mathbb {Z} \setminus \lbrace 0\rbrace )\\1\quad (R=0).\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Nun wird an die Stelle von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> der Funktionsterm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> einer <a href="Diophantische_Gleichung" title="Diophantische Gleichung">diophantischen Gleichung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{s})=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{s})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdd4861d3338fe6db8de9380e31412b50ba32be6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.499ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{s})=0}" loading="lazy"> gesetzt. Dann kann man die Anzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=L(M)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=L(M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee5f9bece15b17c5707434a97ed8572fe86c2b27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.516ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L=L(M)}" loading="lazy"> der Lösungen der Gleichung in einer festgelegten endlichen Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\subset \mathbb {Z} ^{s}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\subset \mathbb {Z} ^{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8532989cb0d368e78ee6d0b58d028d1a343d6e67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.094ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle M\subset \mathbb {Z} ^{s}}" loading="lazy"> – etwa den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy">-<a href="Tupel" title="Tupel">Tupeln</a> von <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlichen Zahlen</a> unterhalb einer festgelegten Schranke – durch ein Integral darstellen:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\#\lbrace (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{s})\in M|g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{s})=0\rbrace =\sum _{(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{s})\in M}\int _{0}^{1}e(g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{s})\cdot \alpha )\,d\alpha .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afecefc21f2cdea0b4486e725a4c3180e970b2b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:96.594ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle L=\#\lbrace (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{s})\in M|g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{s})=0\rbrace =\sum _{(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{s})\in M}\int _{0}^{1}e(g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{s})\cdot \alpha )\,d\alpha .}" loading="lazy"></dd></dl>

Da die Summe endlich ist, kann sie problemlos mit dem Integral vertauscht werden und man erhält

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\int _{0}^{1}\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots x_{s})\in M}e(g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{s})\cdot \alpha )\,d\alpha ,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47a1fa3e8594f3316bd847be82b487fb9067f365.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:47.226ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle L=\int _{0}^{1}\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots x_{s})\in M}e(g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{s})\cdot \alpha )\,d\alpha ,}" loading="lazy"></dd></dl>

also eine Darstellung der Lösungsanzahl als Integral über ein trigonometrisches Polynom. Auf dieses lösungszählende Integral können nun alle Methoden der <a href="Funktionentheorie" title="Funktionentheorie">Funktionentheorie</a> und der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> angewandt werden. Damit kann für die Lösungsanzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=L(M)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=L(M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee5f9bece15b17c5707434a97ed8572fe86c2b27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.516ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L=L(M)}" loading="lazy"> zum Beispiel eine asymptotische Formel abgeleitet werden, die angibt, wie sich die Lösungsanzahl verhält, wenn die Schranken von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> gegen Unendlich streben.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kreismethode_nach_Winogradow">Kreismethode nach Winogradow</h3></div>

Die Idee, das lösungszählende Integral über ein trigonometrisches Polynom in der hier angegebenen Form auf ein zahlentheoretisches Problem anzuwenden, wurde von <a href="Iwan_Matwejewitsch_Winogradow" title="Iwan Matwejewitsch Winogradow">Winogradow</a> entwickelt und 1937 auf die <a href="Goldbachsche_Vermutung" title="Goldbachsche Vermutung">ternäre Goldbachsche Vermutung</a> angewandt:

<dl><dd>Jede ungerade Zahl größer 5 ist als Summe von drei Primzahlen darstellbar.</dd></dl>

Dabei ist dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> eine ungerade natürliche Zahl, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{N}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1544cbdea8afba2edf9fb10121c0a638e41d62ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.946ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{N}}" loading="lazy"> die Menge aller Tripel von Primzahlen, die kleiner sind als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(p_{1},p_{2},p_{3})=p_{1}+p_{2}+p_{3}-N}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(p_{1},p_{2},p_{3})=p_{1}+p_{2}+p_{3}-N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebb37ca34f947b059be6148084af9ffd856d1e3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.018ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(p_{1},p_{2},p_{3})=p_{1}+p_{2}+p_{3}-N}" loading="lazy">. So gelang es ihm, zu zeigen, dass für hinreichend große, ungerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> das lösungszählende Integral <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(M_{N})>0{,}6}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(M_{N})>0{,}6}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d30ff0049da67628efd285eca074e060bbc98a89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.408ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(M_{N})>0{,}6}" loading="lazy"> ist. Damit kann die Vermutung nur für endlich viele „kleine“, ungerade Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> falsch sein.<a href="#cite_note-3">[3]</a> (→ Siehe auch <a href="Satz_von_Winogradow" title="Satz von Winogradow">Satz von Winogradow</a>)

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kreismethode_nach_Hardy_und_Littlewood">Kreismethode nach Hardy und Littlewood</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Kreismethode_von_Hardy-Littlewood" title="Kreismethode von Hardy-Littlewood">Kreismethode von Hardy-Littlewood</a></div>

Winogradows Form der Kreismethode ist eine Variante der Kreismethode, die von <a href="Godfrey_Harold_Hardy" title="Godfrey Harold Hardy">Hardy</a> und <a href="John_Edensor_Littlewood" title="John Edensor Littlewood">Littlewood</a> entwickelt wurde und von ihnen 1917 mit Erfolg auf das <a href="Waringsches_Problem" title="Waringsches Problem">Waringsche Problem</a> angewandt worden ist. In ihrer Formulierung ist die lösungszählende Funktion eine <a href="Potenzreihe" title="Potenzreihe">Potenzreihe</a>. Die Anzahlen der Lösungen einer diophantischen Gleichung sind Koeffizienten dieser Reihe – bei der Goldbachschen Vermutung wäre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{N}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76605d677ea220481dc9cae2c49924c6d0ef82b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.921ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{N}}" loading="lazy"> die Anzahl der Darstellungen der ungeraden Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> als Summe von 3 Primzahlen. Anders als bei Winogradow wird hier nicht von vornherein eine Beschränkung der diophantischen Gleichung auf einen endlichen Definitionsbereich vorgenommen. Das lösungszählende Integral, das bei der Hardy-Littlewood-Methode in einer Form, die der von Winogradow gegebenen ähnelt, zur Berechnung von <a href="Residuum_(Funktionentheorie)" title="Residuum (Funktionentheorie)">Residuen</a> verwendet wird, kann im Allgemeinen auch Singularitäten auf dem Einheitskreis haben. Es wird daher häufig zunächst auf einem Kreis um den Ursprung mit einem kleineren Radius abgeschätzt oder die Singularitäten werden umlaufen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Fourierreihe" title="Fourierreihe">Fourierreihe</a></li>

<li><a href="Trigonometrische_Interpolation" title="Trigonometrische Interpolation">Trigonometrische Interpolation</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Christian Blatter: <cite style="font-style:italic">Analysis 3</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Heidelberger Taschenbücher; Band 153</cite>. 2., verb. u. erw. Auflage. Band 3. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1981, ISBN 3-540-10892-0.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Trigonometrisches+Polynom&rft.atitle=Analysis+3&rft.au=Christian+Blatter&rft.btitle=Heidelberger+Taschenb%C3%BCcher%3B+Band+153&rft.date=1981&rft.edition=2.%2C+verb.+u.+erw.&rft.genre=book&rft.isbn=3540108920&rft.place=Berlin%2FHeidelberg%2FNew+York&rft.pub=Springer&rft.volume=3" style="display:none"> </li>

<li><a href="Harro_Heuser" title="Harro Heuser">Harro Heuser</a>: <cite style="font-style:italic">Lehrbuch der Analysis – Teil 2</cite>. 14. Auflage. Vieweg und Teubner, Stuttgart 2008, ISBN 978-3-8351-0208-8 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/988756064/04">Inhaltsverzeichnis</a> [abgerufen am 31. August 2012]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Trigonometrisches+Polynom&rft.au=Harro+Heuser&rft.btitle=Lehrbuch+der+Analysis+-+Teil+2&rft.date=2008&rft.edition=14.&rft.genre=book&rft.isbn=9783835102088&rft.place=Stuttgart&rft.pub=Vieweg+und+Teubner" style="display:none"> </li>

<li>Harro Heuser: <cite style="font-style:italic">Funktionalanalysis</cite>. 3., durchgesehene Auflage. Teubner, Stuttgart 1992, ISBN 3-519-22206-X (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/920089763/04">Inhaltsverzeichnis</a> [abgerufen am 31. August 2012]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Trigonometrisches+Polynom&rft.au=Harro+Heuser&rft.btitle=Funktionalanalysis&rft.date=1992&rft.edition=3.%2C+durchgesehene&rft.genre=book&rft.isbn=351922206X&rft.place=Stuttgart&rft.pub=Teubner" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zahlentheoretische_Anwendungen">Zahlentheoretische Anwendungen</h3></div>

<ul><li><a href="J%C3%B6rg_Br%C3%BCdern" title="Jörg Brüdern">Jörg Brüdern</a>: <cite style="font-style:italic">Einführung in die analytische Zahlentheorie</cite>. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1995, ISBN 3-540-58821-3.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Trigonometrisches+Polynom&rft.au=J%C3%B6rg+Br%C3%BCdern&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+analytische+Zahlentheorie&rft.date=1995&rft.genre=book&rft.isbn=3540588213&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg%2C+New+York&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li><a href="Robert_Charles_Vaughan" title="Robert Charles Vaughan">Robert Charles Vaughan</a>: <cite style="font-style:italic">The Hardy-Littlewood Method</cite>. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1997, ISBN 0-521-57347-5.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Trigonometrisches+Polynom&rft.au=Robert+Charles+Vaughan&rft.btitle=The+Hardy-Littlewood+Method&rft.date=1997&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.isbn=0521573475&rft.place=Cambridge&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none"> </li>

<li>Ivan Matveevitch Vinogradov: <cite style="font-style:italic">The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers</cite>. Translated from the Russian and annotated by <a href="Klaus_Friedrich_Roth" title="Klaus Friedrich Roth">Klaus Friedrich Roth</a> and Anne Ashley Davenport. New York, Dover 2004.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Trigonometrisches+Polynom&rft.au=Ivan+Matveevitch+Vinogradov&rft.btitle=The+Method+of+Trigonometrical+Sums+in+the+Theory+of+Numbers&rft.date=2004&rft.genre=book&rft.place=New+York%2C+Dover" style="display:none"> </li>

<li>Ivan Matveevitch Vinogradov: <cite style="font-style:italic">Representation of an Odd Number as a Sum of Three Primes</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Comptes rendus (Doklady) de l'Académie des Sciences de l'U.R.S.S</cite>. Nr. 15, 1937, S. 169–172.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Trigonometrisches+Polynom&rft.atitle=Representation+of+an+Odd+Number+as+a+Sum+of+Three+Primes&rft.au=Ivan+Matveevitch+Vinogradov&rft.date=1937&rft.genre=journal&rft.issue=15&rft.jtitle=Comptes+rendus+%28Doklady%29+de+l%27Acad%C3%A9mie+des+Sciences+de+l%27U.R.S.S&rft.pages=169-172" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Brüdern (1995) S. 20.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Alle Variablenbezeichnungen in diesem Abschnitt orientieren sich an informellen, in der Zahlentheorie üblichen Konventionen.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Winogradow (1937) und <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/VinogradovsTheorem.html">Weisstein, Eric W. "Vinogradov's Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.</a>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-01-23" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Trigonometrisches_Polynom&oldid=252542872">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>